“空间变换？”
“对，你是学计算机的，不是学数学的，所以不要去死扣教材上的概念。
听起来你们教授上课只是教你们如何计算而已。达到这个教学目标的确只需要背公式就足够了。”
乔源解释道。...
“空间变换？”骆余馨重复了一遍，脚步微微顿住。
“对。”乔源停下脚步，从书包里抽出一张草稿纸，撕下一页摊开在图书馆外的石桌上，又从口袋掏出一支笔，“你看，我们通常把矩阵看成一堆数字的排列，但其实它更像是一种‘动作’??就像你给一个图形施加某种拉伸、旋转或者剪切的操作。”
他画了一个简单的二维坐标系，在原点附近标出一个向量 $ \vec{v} = \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} $，然后写下另一个矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
$$
“这个矩阵乘以你的向量，会发生什么？”
骆余馨快速心算了一下：“变成 $[2,1]^T$。”
“没错。”乔源点头，“原来的向量指向右上方45度，长度是 $\sqrt{2}$；现在它变成了 $[2,1]$，方向变了，长度也变了。这就是矩阵作为‘变换’的作用??它改变了空间中所有点的位置。”
他顿了顿，继续道：“而特征向量呢？就是那些在经过这种变换之后，**方向不变**的特殊向量。它们可能被拉长或压缩，但不会歪掉。”
他在纸上重新画了一条沿x轴的向量 $[1,0]$，再用刚才那个矩阵乘一次：“还是在x轴上，只是从1变成2。方向没变。所以它是特征向量。”
接着他又试了y轴上的 $[0,1]$：“同样，变成 $[0,1]$，也没变方向。所以这也是特征向量。”
“哦！”骆余馨眼睛亮了一下，“所以特征向量就是那些‘扛住了变形’，只被拉长或缩短的向量？”
“Exactly。”乔源笑了下，“而对应的倍数，就是特征值。比如这里的2和1。”
“那如果有一个向量，本来斜着走，结果一乘矩阵，变得更斜了，甚至转了个弯呢？”
“那就不是特征向量。”乔源说，“只有那些‘坚持自我方向’的，才算。”
骆余馨若有所思地点点头：“我好像有点明白了……那为什么这东西这么重要？我在机器学习课上老听人提特征分解、主成分分析PCA，都说靠这个。”
“因为现实世界的数据太乱了。”乔源把草稿折好塞进口袋，“你想啊，一张人脸照片几千个像素，每个都是维度。直接处理？维度爆炸。但我们发现，其实很多变化是有规律的??比如光照、角度、表情。这些就可以看作是在某些‘主方向’上的伸缩。”
他指了指自己的脸：“比如我现在笑一下，五官整体往两边拉开，这是一种模式；皱眉则是往上挤，又是一种模式。这些‘典型变形方式’，其实就是数据协方差矩阵的特征向量??也就是所谓的‘主成分’。”
“所以PCA做的事，就是找到这些最重要的特征向量，然后把数据投影上去，舍弃那些影响小的方向，实现降维？”
“聪明。”乔源赞许地看了她一眼，“就像用最少的关键骨架，撑起整个结构。而这其中的核心数学工具，就是特征值与特征向量。”
骆余馨轻轻呼出一口气：“原来如此……以前总觉得这是抽象公式，现在才知道它是用来‘抓本质’的。”
两人继续朝图书馆走去，夜风微凉，路灯将影子拉得很长。
“不过你说的那个非凸优化问题，是不是也会用到这个？”她忽然问。
“当然。”乔源眼神沉了下来，“Hessian矩阵的特征值，决定了函数在某一点附近的曲率。正的特征值多，说明是个谷底；负的多了，就是山脊或者鞍点。而最小特征值的大小，就关系到梯度下降会不会震荡、能不能稳定收敛。”
“那你之前写的△min，就是在衡量最‘脆弱’的那个方向？”
“对。如果噪声太大，哪怕其他方向都很稳，只要在一个负曲率方向上被推一把，整个系统就可能滑出去，掉进另一个局部极小。这就是模型坍缩的风险。”
骆余馨沉默了一会儿：“所以你要做的，是让噪声既能帮助跳出浅坑，又不至于破坏深层结构？”
“理想状态是：噪声像一阵有节奏的风，刚好吹动树叶重组画面，却不折断树枝。”乔源轻声说，“夏汐月那天说的话，我一直记得。”
“风吹过之后树的影子好像重组的水墨画……”骆余馨低声复述，嘴角浮起一丝笑意，“你还真把她的话当真了。”
“有时候最诗意的描述，反而藏着最深刻的数学直觉。”乔源望着前方渐近的图书馆玻璃门，“你觉得随机共振只是物理现象吗？我觉得它是宇宙的一种组织原则??混沌中有秩序，噪声里藏真理。”
他们推开图书馆大门，暖光倾泻而出。
自习区几乎坐满，不少人戴着耳机盯着电脑屏幕，笔尖在纸上沙沙作响。常珠飘已经坐在靠窗的老位置，面前摊着三本书：《数值分析》《随机过程导论》《现代优化理论》，旁边还放着一杯快见底的冰美式。
“来了？”她抬头瞥了眼乔源，又看到他身后跟着的骆余馨，眉毛一挑，“哟，连学姐都请动了？今天太阳打西边出来了。”
“别阴阳怪气。”乔源把羽绒服袋子放在她桌上，“衣服，洛特杜买的，一件给你，一件给骆学姐。”
“哈？”常珠飘愣住，“那铁公鸡居然还会送礼？”
“他说吃了你几顿饭没给钱，课题你也帮了忙，算是答谢。”乔源坐下，打开笔记本。
“鬼才信。”常珠飘拆开袋子一看，怔了下，“始祖鸟？他疯了吧？这牌子能便宜？”
“两千起步。”骆余馨也坐下，“打折款也要一千八。”
“所以他一次性买了八件？”常珠飘瞪大眼，“这家伙是不是脑子有问题？八件！他是去批发了吗？”
“据说是店里八件打折，顺手就全包了。”乔源面无表情，“还给自己留了一件。”
常珠飘差点一口水喷出来：“所以他不是专程为我们买的？纯粹是为了凑单？”
“逻辑上更合理。”乔源耸肩，“而且他说你不像是会花半小时挑衣服的人。”
“……”常珠飘咬牙，“等我下次见到他，非得拿尺子量他脑袋有没有缝八针！”
三人笑作一团，引来周围几道目光。
笑声落定，乔源翻开笔记，重新回到那个未完成的推导。
他知道，传统傅里叶变换无法应对非平稳信号，尤其在高维非凸景观下，频谱混叠严重。而小波变换虽能捕捉局部频率，但计算复杂度呈指数增长，实际应用近乎不可行。
可他不信没有出路。
“有没有可能……不直接做谱分析，而是构建一个自适应滤波器？”他喃喃道。
“什么意思？”骆余馨凑过来看。
